* 英文名：Kelly Criterion

* 中文名：凯利公式（凯利准则 / 凯利赌注法）

凯利公式是一种用于确定最优投注/投资比例的数学工具，由约翰·凯利于1956年提出，核心目标是在长期重复决策中最大化资金增长率，同时控制风险。

凯利公式源于信息理论与赌注管理，目标是最大化长期几何平均增长率（长期资本增长）。它基于对胜率 $p$ 与赔率 $b$ 的估计，给出一个最优的资金投入比例 $f^*$，使得在重复独立下注的长期下，资本的指数增长率最大。凯利假设你可以将未来重复投注视作独立同分布事件，并且允许你按比例分配资金（可做分数投资）。

离散命中:
多头注意力公式，通* `$f^*$`：最优下注比例（fraction of bankroll），表示应投入总资金的比例用于本次下注（例如 $f^*=0.05$ 表示投入 5%）。
* `$b$`：净赔率（net odds），表示如果下注 1 单位赢了，你净赚 $b$ 单位（例如赔率 2:1 则 $b=2$；若是“押中付 6 倍”，净赔率通常写为 $b=6$）。
* `$p$`：你估计的“胜利概率”（probability of winning）。这是你基于数据/模型对下注事件获胜的概率估计，取值在 $0\le p\le1$。
* `$q$`：失败概率（probability of losing），定义为 $q = 1 - p$。
（注：按公式代入时若 $f^* \le 0$ 则表示不应下注；若 $f^* \ge 1$ 表示按凯利的结论应该全部押注或杠杆，但在实际常受限，通常会限制在较低值。）过并行计算多个注意力头，增强模型表达能力。
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对等赔率（即净赔率 $b=1$）:
* `$f^*$`：同上，最优下注比例。
* `$p$`：胜利概率。
* `$q$`：失败概率，$q = 1-p$。
（当赔率为 1:1 时，凯利退化为 $f^*=2p-1$。）
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基于对数效用的通用形式（极值问题）:
* `$\max_f$`：对下注比例 $f$ 求使期望对数收益最大化的值。
* `$E[\cdot]$`：期望运算符，对随机收益取数学期望。
* `$\ln$`：自然对数（用于将资本乘法转换为加法，适合长期乘法增长最大化）。
* `$f$`：下注比例（决策变量），即相对总资本的投入比例。
* `$X$`：一次下注的净回报率随机变量（如果赢，$X=b$；如果输，$X=-1$；或更一般化为任意分布），反映不同结果下本金的增减。
（这个写法表示凯利从最大化长期对数增长率得到上面的封闭式解，适用于更复杂或连续分布情形。）
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1. 估计胜率 $p$：用历史数据或模型估计你下注事件获胜的概率（可用频率、贝叶斯估计、回归/分类模型、马尔可夫链等方法）。
2. 确定赔率 $b$：明确下注的净赔率（博彩、交易的赔率或期望收益倍数）。
3. 计算 $f^*$：将 $p$、$b$ 代入凯利公式得到理论最优投入比例 $f^*$。
4. 调整与限额：出于风险控制和估计误差，常使用“分数凯利”（例如 Half-Kelly）或对 $f^*$ 做上下限剪裁（cap），避免全额/杠杆操作。
5. 重复更新：随着更多数据到来或赔率变化，重新估计 $p$ 并更新 $f^*$；凯利是动态的、基于当前估计的规则。

长期来看能实现资金的指数级增长，相比盲目投注或固定比例策略，效率更高；可量化风险，避免过度投资。
优势
* 目标明确：最大化长期几何平均回报（长期最优）。
* 数学清晰：有解析解（在简单二项场景下），易计算。
* 自动缩放：投注规模按资金比例自动调整，随资本变化而变化。

限制 / 风险
* 对 $p$ 的估计高度敏感：小的估计误差会导致较大超额下注或保守下注。
* 假设独立同分布：若胜率随时间变化或事件相关，凯利的理论保证受损。
* 波动性较高：全凯利可能带来较大回撤（因此实务常用分数凯利）。
* 赔率与实际回报不对等：在金融中“赔率”难以定义或包含交易成本、滑点、税费等，需要调整。
* 心理压力与资金限制：实际投资者可能无法忍受凯利带来的大波动或短期亏损。
• 注意事项：对胜率和赔率的估算误差敏感，实际应用中需精准统计数据；不适用于单次高风险事件，更适合长期重复决策。

举例预测过程（使用序列 `236, 366, 599, 688, 122`，目标：预测第六位数并用凯利计算下注比例）

> 说明：下面示例主要演示流程与计算方法（如何从历史序列估计 $p$、如何计算 $f^*$）。由于你给出的序列只有 5 条观测，概率估计会非常不稳定——示例用简单频率估计 与 示范赔率 进行计算，真实应用中应使用更多数据或模型预测（比如马尔可夫、神经网络、朴素贝叶斯等）来估计 $p$。

假设与步骤概览

1. 问题设定：我们把每条观测看作一次独立抽样结果（每次抽出一个三位数），现在已有历史序列 `236, 366, 599, 688, 122`，我们想对第六位数的某一具体结果（例如“122”）下注。

2. 估计胜率 $p$（示例方法）：用历史频率估计下次出现目标值（例如 122）的概率。

--* 历史中 `122` 出现了 1 次，样本长度为 5，频率估计为 $\hat p = \dfrac{1}{5} = 0.2$。

--* 如果想更保守可以用贝叶斯平滑（例如加上 Beta(1,1)先验，后验均值为 $(1+1)/(5+2)=2/7 \approx 0.2857$）。这里给出两种估计以供比较。

3. 设定赔率 $b$（示例）：假设博彩公司给出的净赔率为 $b=5$（即若猜中净赚 5 倍本金；下注 1，若赢净赚 5，若输损失 1）。你可以替换为实际的赔率或交易期望收益。

4. 代入凯利公式计算 $f^*$：使用公式 $f^* = \dfrac{b p - q}{b}$。

5. 剪裁与分数凯利：如果 $f^*$ 过高或估计不稳，选择半凯利或四分之一凯利。

下面把这些用 LaTeX 数字化，便于你复制渲染：

具体计算（示例 1：频率估计）

* 历史频率估计：

$\hat p = \dfrac{1}{5} = 0.2$

逐个说明：

* `$\hat p$`：用样本频率估计的胜率。

* 分子 `1`：历史中目标值出现次数。

* 分母 `5`：历史观测总数。

* 失败概率：

$\hat q = 1 - \hat p = 0.8$

说明：`$\hat q$` 为失败概率。

* 代入凯利（$b=5$）：

$ f^* = \frac{b\hat p - \hat q}{b} = \frac{5\times 0.2 - 0.8}{5} $

逐项说明公式里的符号（重复说明以清晰对应）：

* `$f^*$`：最优下注比例（目标）。

* `$b$`：净赔率，这里取 $5$。

* `$\hat p$`：估计的胜率 $0.2$。

* `$\hat q$`：失败概率 $0.8$。

现在计算数值：

$ f^* = \dfrac{1 - 0.8}{5} = \dfrac{0.2}{5} = 0.04 $

说明：结果 `$f^* = 0.04$` 表示 按凯利应下注本金的 4%（若本金为 $1000，则下注 $40）。

示例 2：贝叶斯平滑估计（保守一点）

* 使用 Beta(1,1) 非信息先验（即加 1 平滑），后验均值：

$\tilde p = \dfrac{1 + \text{count}}{2 + N} = \dfrac{1+1}{2+5} = \dfrac{2}{7} \approx 0.285714$

逐项说明：

* `$\tilde p$`：贝叶斯平滑后胜率估计。

* `\text{count}`：目标出现次数（1）。

* `$N$`：样本总数（5）。

* 分母 `$2+N$`：Beta(1,1) 后验分母（1+1+N）。

* 失败概率：

$\tilde q = 1 - \tilde p \approx 0.714286$

* 代入凯利（仍用 $b=5$）：

$\tilde f^* = \frac{b\tilde p - \tilde q}{b} = \frac{5\times 0.285714 - 0.714286}{5}$

逐项说明：

* `$\tilde f^*$`：基于贝叶斯平滑估计的凯利下注比例。

数值计算（近似）：

$5\times 0.285714 \approx 1.42857$

$1.42857 - 0.714286 \approx 0.714284$

$\tilde f^* \approx \frac{0.714284}{5} \approx 0.1428568 \approx 14.29\%$

说明：贝叶斯平滑下得到的凯利更高（约 14.3%），因为平滑在样本量小且先验为均匀时会提高概率估计。注意：小样本下这种差异很大，真实决策需谨慎。

分数凯利与实际建议

* 如果直接使用全凯利风险太高（尤其当估计不稳时），建议使用半凯利（0.5 × $f^*$）或四分之一凯利（0.25 × $f^*$）。

--* 例如在第一个示例（$f^*=0.04$）下：半凯利 = 0.02（2%），四分之一凯利 = 1%。

--* 在第二个示例（$\tilde f^*\approx0.1429$）下：半凯利 ≈ 7.14%，四分之一 ≈ 3.57%。