* 英文名：Monte Carlo Backtesting

* 中文名：蒙特卡洛回测 / 蒙特卡洛模拟回测

定义简述：使用随机抽样仿真（Monte Carlo simulation）生成大量可能的未来样本路径或结果，然后在这些模拟样本上运行策略/预测模型以评估其长期表现、稳健性与不确定性。常用于金融策略回测、风控、时间序列预测以及任何需要估计策略在未知未来表现的场景。

蒙特卡洛回测是一种基于随机模拟的量化策略验证方法，通过生成大量符合历史数据统计特征的随机路径，模拟策略在不同市场情景下的表现，进而评估策略的稳健性与风险。

1. $\hat{p}_A$：对事件 $A$（例如“第六位等于某值”）的蒙特卡洛估计概率。
2. $N$：模拟次数（总共生成多少条独立模拟样本）。
3. $i$：模拟索引，从 $1$ 到 $N$。
4. $X^{(i)}$：第 $i$ 次模拟生成的随机结果（或整个未来路径，视问题而定）。
5. $\mathbf{1}{\cdot}$：指示函数，当条件成立时为 $1$，否则为 $0$。
6. $A$：我们关心的事件集合（例如“第六位等于 236” 或 “第六位个位为 6”）。
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1. $\widehat{\mathbb{E}}[g(X)]$：函数 $g$（如收益函数、命中 0/1 指示、损失函数等）在模拟分布下的期望估计。
2. $g(\cdot)$：任意感兴趣的映射/函数（例如 $g(x)=\mathbf{1}{x=\text{预测值}}$，或 $g(x)=$ 盈利金额）。
3. 其他变量与公式 1 中相同：$N$、$X^{(i)}$、$i$。
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1. $\mathrm{SE}(\hat{p}_A)$：估计概率 $\hat{p}_A$ 的标准误（standard error）。
2. $\hat{p}_A$：同公式 1 的估计概率。
3. $N$：模拟次数。
> 注：该近似适用于事件独立同分布且 $N$ 足够大的情形；若模拟产生路径相关性或自相关，则需调整估计方法（例如批次自助法）。
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1. 确定目标/事件：明确你要评估或预测的指标（比如“第六位数会是什么”或“策略的长期命中率/收益”）。
2. 构建生成模型（模拟器）：

---* 经验法：对历史样本做重采样（bootstrap）或按经验分布直接抽样。
---* 参数化法：拟合分布（例如正态、泊松、马尔可夫链、ARIMA 残差模型等），然后从该分布生成。
---* 分位/条件法：使用条件概率（例如按前一位或前几位做转移概率表）生成。
3. 选择模拟参数：设定 $N$、随机数种子（seed）、是否并行、是否保留路径等。
4. 运行模拟：重复 $N$ 次：从生成模型抽取一个未来结果或未来路径，计算目标指标 $g(X^{(i)})$。
5. 统计汇总：计算 $\hat{p}_A$、期望值、分位数（例如 5%、50%、95%）、标准误等。
6. 可视化与置信区间：展示指标分布（直方图、箱线图），给出置信区间和风险度量。
7. 敏感性分析：改变生成模型（例如不同噪声分布或不同转移概率）重复步骤以检查策略稳健性。
8. 结论与部署建议：基于分布与置信区间判断该策略/预测是否可靠。

优势
* 能直接估计不确定性：输出不是单点估计而是一个分布（可得置信区间）。
* 灵活：生成模型可以很灵活，能容纳复杂、非线性、非正态的分布。
* 可做压力测试与敏感度分析：通过更改生成假设，测试策略在极端情况下的表现。
* 突破历史局限：不依赖单一历史数据，可模拟极端市场情景，更全面评估策略的抗风险能力。
* 风险量化精准：能给出收益分布的概率特征，明确策略亏损的可能性及程度，辅助风险决策。
* 适配复杂策略：对非线性、多资产组合等复杂策略的验证效果优于传统回测，减少过拟合风险。

局限 / 风险
* 生成模型偏差会导致误导（Garbage In -> Garbage Out）。
* 计算成本高（尤其 $N$ 很大或路径很长时）。
* 小样本问题：历史数据太少会导致经验分布不可靠。
* 自相关 / 非独立样本会使简单的标准误估计失真，需要更复杂的统计方法。

举例预测过程（使用你给的序列：`236, 366, 599, 688, 122` 来说明“预测第六位数”的流程逻辑）

> 说明：序列被视为 单条历史观测，每个观测是三位数（hundreds, tens, units）。下面给出两种常见的生成模型与对应的蒙特卡洛步骤与具体概率计算：

> A. 整数重采样（Whole-number bootstrap） — 从历史观测集中以经验概率抽取下一个值。

> B. 逐位独立抽样（Digit-wise empirical） — 分别统计百位/十位/个位的经验频率，独立抽样生成新三位数。

#数据准备（把历史写成数组）

历史样本（长度 5）：

$$\mathcal{H} = [236,, 366,, 599,, 688,, 122].$$

方法 A：整数重采样（经验分布）

生成模型：下一个值 $X$ 直接从 $\mathcal{H}$ 中按经验分布重采样（有放回）。

* 每个历史数出现的经验概率都为 $1/5$（因为都只出现一次）：

$$P(X=236)=P(X=366)=P(X=599)=P(X=688)=P(X=122)=\frac{1}{5}.$$

蒙特卡洛实现：

1. 设 $N$（如 $N=10000$）。

2. 重复 $i=1\ldots N$：从 $\mathcal{H}$ 中随机抽取一个数作为 $X^{(i)}$（每次独立）。

3. 统计某个候选 $x$ 被抽到的频率：$\hat{p}*x = \frac{1}{N}\sum*{i}\mathbf{1}{X^{(i)}=x}$，理论上接近 $1/5$。

结论（此方法）：每个历史数被选为第六位的概率都是 $0.20$。如果你只用这 5 个样本，无法产生其它新数字。

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方法 B：逐位独立抽样（按位经验分布）

把每个三位数分解为 $(h,t,u)$（百位、十位、个位）。历史数据分解如下：

* $236 \to (2,3,6)$

* $366 \to (3,6,6)$

* $599 \to (5,9,9)$

* $688 \to (6,8,8)$

* $122 \to (1,2,2)$

计算经验频率：

百位（hundreds）集合：${2,3,5,6,1}$，频率都为 $1/5$。

十位（tens）集合：${3,6,9,8,2}$，频率都为 $1/5$。

个位（units）集合：${6,6,9,8,2}$，频率为：

* $P(u=6)=2/5$，

* $P(u=9)=1/5$，

* $P(u=8)=1/5$，

* $P(u=2)=1/5$。

（其余个位数字概率为 $0$）

理论联合概率（若假定三位独立）：对任意候选三位数 $(h,t,u)$，

$$P(h,t,u) ;=; P(h),P(t),P(u).$$

逐个变量说明（再次强调）：

1. $P(h)$：百位的经验频率（上面列出）。

2. $P(t)$：十位的经验频率。

3. $P(u)$：个位的经验频率。

示例计算：计算历史中 `236` 在此模型下被生成的概率：

* $P(h=2)=1/5$.

* $P(t=3)=1/5$.

* $P(u=6)=2/5$.

因此

$$P(236) ;=; \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{2}{5} ;=; \frac{2}{125} ;=; 0.016.$$

你可以对任一三位数用同样方法计算概率（但注意：只在个位或百位/十位出现在历史中时概率非零）。

用蒙特卡洛实现（模拟示例）：

1. 取 $N$（例如 $N=10000$）。

2. 对 $i=1..N$：独立从百位分布中抽一个 $h^{(i)}$，从十位分布中抽一个 $t^{(i)}$，从个位分布中抽一个 $u^{(i)}$，构成 $X^{(i)}=100h^{(i)}+10t^{(i)}+u^{(i)}$。

3. 统计 $\hat{p}_x$。理论上 $\hat{p}_x$ 会接近上面的乘积概率。

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方法 C（变体）：条件 / 马尔可夫式生成

若你认为“下一个数与前一个数有条件关系”，可构造转移矩阵（例如按十位是否与上次相同），用历史样本估计条件概率 $P(X_{t+1}\mid X_t)$，然后用马尔可夫链生成路径。这在数据量较大时比独立抽样更合理。此处因数据量仅 5，估计条件概率不稳定。